代数基本定理
n次复系数多项式在复数域上至少有一根(n≥1)由此推出,n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根,重根按重数计算.
此定理最初为Gauss所证,现有200多种证法,下举出一个常用的证明:
在证明之前,要先引入3个引理:
引理 1 每个奇数次实系数多项式必有实根。(这一事实从连续函数的中值定理得出)
引理 2 复系数二次多项式的根均是复根。
引理 3 每个次数>0的实系数多。
证明：设g(x)∈R[x], deg g(x)=d>0。d=2nq, 2łq, n≥0.我们对n作数学归纳法。如果n=0，则g(x)为奇次实系数多项式。由引理1可知它有复根。下设n=n0≥1，并且对n比n0小的情形引理3成立。令x1, x2, …, xd为g(x)在R的适当的扩域的全部根（g(x)的分裂域总存在，但不知道含于C）。我们的目标是证明必有某个xi∈C。
为证此，取任意一个实数c。令 yij=xi+xj+cxixj(1≤ i≤j≤ d).
一共有d(d+1)/2个yij . 又令
G(x)=∏1≤ i≤j≤ d (x－yij)=xm＋g1(x1,…, xd)xm－1 ＋…＋gm(x1,…, xd),
m=2n－1q (d+1).
不难看出，每个gi(x1,…, xd)均是x1,…, xd的实系数对称多项式，从而gi(x1,…, xd)∈R[σ1,…, σd],其中σ1,…, σd为x1,…, xd
的初等对称多项式。但是g(x)=xd－σ1xd－1 ＋σ2xd－2－…＋(－1)dσd ∈R[x], 从而σ1, σ2, …,σd∈R。于是gi(x1,…, xd)∈R (1≤i≤m). 从而G(x)∈R[x]. 由于n≥1, 从而2| d=2nq, 于是2† (d+1)q，而 deg G(x)= 2n-1q(d+1). 由归纳假设知道G(x)有复根z0. 换句话说，我们有i(c) 和j(c)(均与有关)，使得
yi(c), j(c)=xi(c)+xj(c)+cxi(c)xj(c)=z0∈C.
由于指标集{（i,j）}是有限的，而实数c可任意选取，从而必然存在c≠c’，c,c’∈R, 使得
i(c)=i(c’), j(c)=j(c’). 令它们分别为r和 s， 于是得到
xr+xs+cxrxs=z0∈C, xr+xs+c’xrxs=z1∈C.
由此及 c≠c’，c,c’∈R, 可知xr+xs∈C, xrxs∈C. 于是 h(x)=x2－( xr+xs)x+ xrxs∈C[x]. 根据引理2，h(x)的两个根xr和xs均是复数根，这就证明了存在某个i，使得xi∈C. □
最后我们来证明代数基本定理：设f(x)=∑0≤i≤n cixi∈C[x], deg f ≥1. 记 f(x)=∑0≤i≤n cixi∈C[x],，其中ci 表示ci的共轭复数. 令g(x)=f(x) f(x) ∈R[x]。根据引理3，存在α∈C，使得g(α)=0. 于是α为f(x) 或f(x)的根。如果α为f(x)的根, 则证明完毕. 如果α为f(x)的根, 则共轭复数α为f(x)的根. 这就证明了代数基本定理.
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