裂项
数学大师华罗庚写过一本数学小册子《数学归纳法》，在这本小册子中，华老通过证明一个恒等式的例子向我们提出了一个问题：这些恒等式的证明本身并不难，但这些恒等式是怎么来的呢？难道是天上掉下来的？发现一个恒等式也许要比证明它更难！
计算：1×2＋2×3＋3×4＋…＋99×100＝？
事实上，这个题目需要我们导出一个公式：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）＝？
∵n（n＋1）（n＋2）－（n－1）n（n＋1）
＝n（n＋1）[（n＋2）－（n－1）]
＝3n（n＋1）
∴n（n＋1）＝1/3[n（n＋1）（n＋2）－（n－1）n（n＋1）]
∴1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）
＝1/3（1×2×3－0×1×2）＋1/3（2×3×4－1×2×3）＋1/3（3×4×5－2×3×4）＋…＋1/3[n（n＋1）（n＋2）－（n－1）n（n＋1）]
去括号，注意隔位抵消，于是我们得到：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）＝1/3[n（n＋1）（n＋2）]
有了这个公式，上面的计算就很容易了，只需代入即可。
计算：1²＋2²＋3²＋…＋100²＝？
这个题目需要我们导出一个公式：1²＋2²＋3²＋…＋n²＝？
∵n²＝n（n＋1）－n
∴1²＋2²＋3²＋…＋n²
＝（1×2－1）＋（2×3－2）＋（3×4－3）＋…＋[n（n＋1）－n]
＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1）－（1＋2＋3＋…＋n）
＝1/3[n（n＋1）（n＋2）]－1/2[n（n＋1）]
＝1/6[n（n＋1）（2n＋1）
我们得到：
1²＋2²＋3²＋…＋n²＝1/6[n（n＋1）（2n＋1）
有了这个公式，上面的计算还难吗？
关于这种裂项的巧算题目很多，常出现在小学或初中的数学竞赛题目中。 是的，如何裂项是个问题。
不过，多做点题目，裂项的难度也就降低了不少。
还有一个常见的裂项的例子是：
1/2+1/6+1/12+1/20+……+1/9900=？ 0.99
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