一类三角形存在的条件
三角形存在应满足什么条件<br />241300 安徽省南陵县实验中学 邹守文<br />[问题的由来]笔者在教由人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册》四边形一章时，在章末复习时，选用了课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著，人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册教师教学用书》第248页拓展性问题5： <br />如图1，在直角梯形ABCD中，AB＝BC＝4，E为BC边上一 点，且∠EAD＝45°，ED＝3，求△AED的面积。<br />答案与提示：如图2。过A点作AF∥BC交CD的延长线于F点，∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形。将△AFD绕点A顺时针旋转90°至△ABG处，∴G、B、C三点共线，AD＝AG。∵∠EAD＝45°，∴∠GAE＝∠EAD＝45°，∴△AED≌△AEG（SAS）。∴EF＝ED＝3。∴S△AED＝S△AEG＝ ×3×4＝6。<br />笔者按《教师用书》给出了上述答案与提示后，提出了这样一个问题，求BE的长。同学们解答如下：设BE＝x，则CE＝4－x，FG＝x，FD＝3－x，CD＝x＋1，在直角三角形ECD中由勾股定理得（4－x）2 ＋（x＋1）2＝32。<br />化简得x －3x＋4＝０。易知Δ＝（－3）2—4×4＝－７＜０，x无解，故BE不存在，从而△AED不存在，故这是一道错题。<br />与此类似的2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题：<br />如图3所示,在梯形ABCD中ＡD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC=CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10，则CE的长为 ，可求得CE＝４或6。<br />同样的图形，图1的△AED不存在，而图3的△AED却有两个，这是为什么？满足什么条件的△AED存在呢？<br />[问题]如图1，在直角梯形ABCD中，ＡB∥CD，AB＝BC＝a，Ｅ为BC边上的一点，且∠EAD＝45°，设DE＝b，求 的取值范围。<br />[解析]如图2，因为AB＝BC＝a，所以可把直角梯形ABCD补成正方形ABCF，再把△AFD绕A点顺时针旋转90°至△ABG，有G、B、C三点共线，AD＝AG。∵∠EAD＝45°，∴∠GAE＝∠EAD＝45°，有△AED≌△AEG，得EG＝ED。<br />又△DEC的周长＝DC＋CE＋DE＝DC＋CE＋EG＝DC＋CE＋EB＋BG＝CD＋CE＋BE＋DF＝（DC＋DF）＋（CE＋BE）＝BC＋CF＝2a<br />又由三角形两边之和大于第三边，有2a＝DE＋DC＋CE＞DE＋DE＝２DE，<br />有DE＜a，即 ＜1 ①<br />设BE＝x，则CE＝a－x，BG＝b－x，DF＝BG＝b－x,<br />CD＝CF－DF＝a－（b－x）＝a－b＋x。<br />在△DEC中由勾股定理，得DE2＝CD2＋CE2<br />∴b2＝(a－x)2＋(a－b＋x)2<br />化简得x２－bx＋a2－ab＝０.<br />因为上述方程有解，故Δ＝（－b）2—4×1×（a2－ab）≥０<br />即b2＋４ab－４a2≥０， （ ）2＋４× －４≥０<br />解之，得 ≥2（ －１） ②<br />由①、②式知2（ －１）≤ ＜1<br />[发表记录]首次发表。<br />[教育价值]P.R.Hamous说：“问题是数学的心脏”，乔治波利亚也说过提出问题比解决问题更重要。本题给我们如下启示：<br />1、编题是数学教师常有的事，怎样编题除了有知识问题，也有技术问题，如何编制出一道流传的好题，倍受社会的关注。中考、高考题如此，教材上的问题更是如此。教材（教参）上的问题更应在科学性上率先垂范，因为它具有方法的典型、使用的广泛性、问题的拓展性和在教师中的权威性与示范性，所以应反复推敲。<br />2、本题的结论为编题和求解提供了一定的依据。当b=2（ －１）a时，CE的值有一个；当2（ －１）a＜b＜a时，CE的值有两个；当b＜2（ －１）a时，CE的值不存在。<br />[问题拓展]<br />E、F为正方形边BC、CD上的点，则下列命题等价：<br />（1）∠EAF＝45°<br />（2）△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半<br />（3）S正方形ABCD：S△AEF= <br />（4）若AG⊥EF，则AG=AD<br />（5）EF=BE+DF<br>页:
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