简单的a,b,c证明题
实数a.b.c满足（a+c)(a+b+c)<0,求证：（b-c)²>4a(a+b+c).<br> 都拆开看看……<br> 先转两个做法<br />abc满足(a+c)(a+b+c)<0 求证 (b－c)2(平方）＞4a(a+b+c) <br />证： <br />∵ (a+c)(a+b+c)<0 <br />∴(a+c)>0，(a+b+c)<0 <br />或(a+c)<0，(a+b+c)>0 <br />讨论： <br />(A)(a+c)>0，(a+b+c)<0 <br />-c<a<-b-c <br />0<a+c<-b,b<0 <br />(1)当a<0,c>0，b<0 <br />∵(b－c)^2-4a(a+b+c) <br />>(b-c)^2+4c(-c+b+c) <br />=(b+c)^2≥ 0 <br />∴(b－c)^2>4a(a+b+c) <br /><br />(2)当c<0，a>0,b<0 <br />∵(a+b+c)<0 <br />4a(a+b+c)<0 <br />(b－c)^2 ≥ 0 <br />∴(b－c)^2 >4a(a+b+c) <br /><br />同理(B)(a+c)<0，(a+b+c)>0 <br />-b<a+c<0,0<a+b+c<b, <br />(1)a>0,c<0,b>0 <br />∵(b－c)^2 -4a(a+b+c) <br />=(b－c)^2 +4c(-c+c+b) <br />>(b－c)^2 +4bc <br />≥ 0 <br />∴(b－c)^2 >4a(a+b+c) <br />(2)a<0 <br />∵(a+b+c)>0 <br />∴4a(a+b+c)<0 <br />∴((b－c)^2 >4a(a+b+c)<br> 因为(a+c)(a+b+c)<0 <br />所以a2+ab+2ac+bc+c2<0 <br />所以a2+ab+2ac+bc+c2+b2-2bc+c2< b2-2bc+c2 <br />所以a2+ab+2ac+bc+c2+b2-2bc+c2< (b-c )2 <br />所以a2+ab+2ac+bc+2 c2+b2-bc< (b-c )2 <br />如果能证明4a(a+b+c)<a2+ab+2ac+bc+2 c2+b2-bc <br />则4a(a+b+c) <a2+ab+2ac+bc+2 c2+b2-bc< (b-c )2 <br />就得出证明4a(a+b+c) < (b-c )2 <br />现在证明4a(a+b+c)<a2+ab+2ac+bc+2 c2+b2-bc <br />解开整理4 a2+4ab+4ac< a2+ab+2ac+bc+2 c2+b2-bc <br />3 a2+3ab+2ac+bc- b2-3 c2>0<br> 这两个答案都是纯不等式运算和推理，但是仔细观察式子的结构，不难发现，这个和学过的一个东东很相似，是什么呢？对，就是一元二次方程，于是很自然的想到构造一元二次函数来做！<br /><img src="http://img186.imageshack.us/img186/8546/eqn324hr9.gif" border="0" onload="if(this.width>screen.width*0.7) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.7; this.alt='Click here to open new window\nCTRL+Mouse wheel to zoom in/out';}" onmouseover="if(this.width>screen.width*0.7) {this.resized=true; this.width=screen.width*0.7; this.style.cursor='hand'; this.alt='Click here to open new window\nCTRL+Mouse wheel to zoom in/out';}" onclick="if(!this.resized) {return true;} else {window.open(this.src);}" onmousewheel="return imgzoom(this);" alt="" /><br /><br />[ 本帖最后由 LLLYSL 于 2008-1-1 14:52 编辑 ]<br>页:
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