简单不等式证明
已知a,b,c均属于R[sup]+[/sup]并两两不等，且abc=1，求证：Sqr(a)+Sqr(b)+Sqr(c)<1/a+1/b+1/c<br> 简单？~~<br> 右边=ab+bc+ac即证a+b+c<a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2这个你就懂吧<br> abc=1所以1/a+1/b+1/c=bc+ca+ab=(bc+ac)/2+(ac+ab)/2+(ab+bc)/2 >=根号abcc+根号aabc+根号abbc=根号a+根号b+根号c<br> [这个贴子最后由平沙落雁在 2003/09/07 08:40pm 第 1 次编辑]<br /><br />不好意思，说的不是你~~~`，对了，主要是放大一倍配方<br> a,b,c均属于R+并两两不等，且abc=1，求证：Sqr(a)+Sqr(b)+Sqr(c)<1/a+1/b+1/c我的办法是：作差:1/a+1/b+1/c-sqr(a)-sqr(b)-sqr(c)=1/2[(1/a-2sqr(ac)+1/c+1/b-2sqr(bc)+1/c+1/a-2sqr(ab)+1/b]=1/2{[sqr(a)-sqr(b)]^2+[sqr(b)-sqr(c)]^2+[sqr(c)-sqr(a)]^2}>0<br> 这类不等式有个特点先把要证的等式左右两边的次数变一样（要点！）如下：bSqr(ac)+cSqr(ab)+aSqr(bc)<ab+bc+ac,(左边是乘了Sqr(abc)=1,右边abc=1)接下来就是2bSqr(ac)〈bc+ac等三个，一加就好了。<br> 昨天受enbjy的启发，我用Cauchy也出来了：<br />(1/a+1/b+1/c)^2=(1/a+1/b+1/c)(1/b+1/c+1/a)>=[1/sqr(ab)+1/sqr(bc)+1/sqr(ac)]^2=[sqr(a)+sqr(b)+sqr(c)]^2 两边开方<br />更简洁~`<br> <br><br>QUOTE:这类不等式有个特点先把要证的等式左右两边的次数变一样（要点！）<br>嗯……今天早上刚体会到。<br /><br> 原因其实也简单，基本不等式，柯西不等式左右次数都一样<br>页:
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