[原创]肯普的正规地图
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肯普的正规地图
wert
内容提要 以肯普的正规地图为前提的四色问题的证明，
至少在逻辑上是站不住脚的。
关键词 正规地图 二元关系
（一）
阿佩尔和哈肯写道：
“肯普首先定义正规地图：一幅地图叫做正规的，如果其中任何
一国都不包围别的国家，并且没有3个以上的国家相交在一点。”⑴
把上述定义作如下改写：
正规地图是既无环形国家又无3个以上国家相交于一点的地图。
不难看出，这个定义的外延是符合地图的数学特征的一部分平面和球面几何图形的集合，而另外一部分则是非正规地图。其中，地图的数学特征是指：地理学上的实体⑵ 行政地图（又叫实体地图）的数学属性,即实体地图(还可简称地图)的几何图形面积大小的有限性、几何形状的平面性和球面性等等。不过，图1所示的平面正规地图和平面非正规地图、图2所示的球面正规地图和球面非正规地图，却都不是实体地图，而是数学地图（它们也可以简称地图）。不过，数学地图其实就是实体地图的数学抽象摸型⑵ 而已。
以上是肯普对地图概念的全部理解，但不包括其中的对“地图的数学特征”的认识。因为，肯普在定义正规地图之前，就忽略了一个逻辑环节，即未将图3所示的实体地图，定义（即抽象和概括）成为图1、2所示的数学地图。这是肯普对四色问题证明的失误之一。
（二）
再看，肯普把正规地图套用在欧拉定理⑶v+f=e+2上所出现的问题和错误：
⑴ 欧拉定理揭示的是图4所示的多面体几何图形的构形规律，其多面体的顶点、体面、面棱俱全，且最小的图形是4面体，如图4（1）所示；而正规地图的几何图形却不是多面体，且最小的图形或是一个单元平面，如图1（1）所示；或是一个单元球面，如图2（1）所示。由此可见，正规地图与多面体不是同类几何图形。因此，从逻辑上说，这是不能共同使用欧拉定理的。而非要把正规地图套用在欧拉定理上，那显然就是一个逻辑上的偷换概念的错误，即偷换了欧拉定理的成立条件。
⑵ 将欧拉定理套用在地图的局部构形上，如图6（3）（4）所示，把3个以上国家相交的一点换成一个国家。须知：在地图的局部构形中，任一国家都可以与任意多个国家相邻，如图5所示。这不但与套用欧拉定理后所得到的结论：“地图中至少有一国其相邻国家不多于5个”相矛盾，而且还在继续犯偷换概念的错误。因为，欧拉定理的产生，是在多面体的整体几何图形上，而其应用，起码也应该是在地图的整体几何图形之上。
⑶用同样的方法，只需将正规地图定义中的“3”字改为“4” 字，如图6（1）所示,就可以再得到一个结论：“地图中至少有一国其相邻国家不多于4个”。这个结论的主要数学因素是f(4-n)=8；如果改“3”字为“6” 字，如图6（2）所示,那么还能得到第三个结论：“地图中至少有一国其相邻国家不多于3个”。这个结论的主要数学因素是f(3-n)=6；而原定义所说的“3”字第一个结论的主要数学因素是f(6-n)=12。以上3个主要数学因素的共同点分别是：当n≧3时,当n≧4时,当n≧6时，地图均为无限大，显然n≧3、n≧4是荒唐的。还有例如改“3”字为“5、7、8、9-----”等字，则地图的局部构形同样存在，如图6（3）所示，但此时所得结论更加荒唐。
上述分析说明，套用欧拉定理是完全错误的。
⑷正规地图并不能替代非正规地图。因为，地图的数量之多，不仅仅取决于国家的数量之多，而且还取决于每个国家的形状变化和面积大小。以图1（1）来说，两幅都是等边三角形的地图，因其面积大小不同而不能相互替代；就是面积大小相同，如图1、2中的两幅形状不同的（1）图，也不能相互替代。就是因为任何两幅地图，包括图6（3）（4）所示的两幅正规和非正规地图，都不能相互替代，所以地图的数量才如此之多。
另外，从逻辑上的概念分类划分及其规则来说，正规地图和非正规地图，都是分类划分的肢，而分类划分的肢，又都是互相排斥的，岂能相互替代。
由于说到地图的数量之多，所以顺便说一下“四色猜想”和“四色定理”的概念区别：已经通过“简单枚举”证明并公认，凡是画出的地图，都最多着4种颜色。不管你调不调色，如何调色，都改变不了这个结果。因此，四色问题才被称为“四色猜想”；而“四色定理”则是指，当人们找到并公认了充分的理由，可以证明未画出的地图，也都最多着4种颜色，从而使四色问题，由猜想转化为定理。只有在此时，四色问题才可以被称为“四色定理”。
⑸应该不难看出，肯普定义正规地图是为了套用欧拉定理。这在科学研究的 思想方法上，叫做“从概念出发”。在这里是十足的“削足适履”的思维方式；
也应该看出，肯普在上述推理过程中所犯的逻辑错误，完全是为了凑合v+f=e+2中的数量关系而造成的，因此，这应该是十足的数学游戏。
（三）
然而，确有“地图中至少有一国其相邻国家不多于5个”之地图性质。请看：
以图7所示国家（图中的质点）数n>2的二元关系（图中的连线）最多的地图（即母图）为例。在n=3的母图基础上，每增加一个国家，则地图最多只能增加3条二元关系线，故地图母图的二元关系线数是随其国家数n=3后逐一增加而按
3、6、9、12 --------------（1）
变化的一个无穷递增等差数列，其同项an 的公式为
an=3n-6 ---------------（2）
式中：n ----是国家数，而不是项数。
同时，地图母图的构形数量则是随其国家数n=3后逐一增加而按
1、1、1、4 ---------------（3）
变化的一个无穷递增数列，它没有同项公式。其前4项的全部构形如图7所示。
我们不仅可以从式（3）所指出的全部母图构形中看出，全部母图的最小度只有2、3、4、5等4个数量级，也就是说，母图中至少有一国其相邻国家不多于5个；
同时我们还可以通过计算，得出同样的结果：
我们完全可以想到，如果母图中至少有一国其相邻国家为m个，那么该母图中至少应该有p条二元关系线数，即
p=1/2×m·n -----------（4）
式中： 2 ----是每条二元关系线数均被数过两次的意思；
n ----是国家数。
令 an=p 则有 n(6-m)=12 --------------（5）
当m=5时 an=p n =12 如图10所示；
当m=4时 an=p n =6 如图7（7）所示；
当m=3时 an=p n =4 如图7（2）所示；
当m=2时 an=p n =3 如图7（1）所示；
当m=1时 当m=0时 式（5）均失去意义，即不在式（1）---（4）的研究范围之内。但我们完全可以看出，此时的地图第一，它是一幅n>1的着2种颜色的地图。其最小度有1、2两个数量级，如图9（1）（2）（3）所示；第二，它是一幅只有1个国家的地图，如图9（4）所示。
当m=6时 式（5）也无意义，但我们也可以看出，此时的地图是一幅无穷大地图，这既是与地图和地图的定义相矛盾的，又是“地图中至少有一国其相邻国家不多于5个”之地图性质证明。
已经发现，母图包含着全部地图，即分别去掉母图每一条二元关系线，再经过合并同类项，就是地图的第一类子图即非母图，如图8（1）（2）所示。再分别去掉第一类子图的可以去掉的即不使国家成为孤立质点的每一条二元关系线，就是地图的第二类子图，如图8（3）（4）（5）所示。再分别去掉第二类子图的可以去掉的每一条二元关系线，就是地图的第三类子图，如图8（6）（7）所示。依此类推，直到非母图只有（n-1）条二元关系线时为止，如图8（6）（7）所示。显然，（n-1）条二元关系线就是地图二元关系的下限，再少1条，也就不是地图了。由此可见，地图的子图，若按照二元关系的多少，又可分为k类，即
k=an-（n-1）=3n-6-（n-1）=2 n-5 ----------（6）
例如，当n=4时，地图有3类7种子图，如图8所示。
由于母图包含着全部地图，所以母图的性质就是地图的性质。
证明四色问题，不得不正确认识地图的性质。
（四）
显然，第（二）节所述肯普的第一个结果，确实与第（三）节所述式（5）的结果是类同的。但是，这根本就不能说明肯普的结果也是正确的。因为，肯普的结果是建在一系列逻辑错误的基础上的。由此可见，以肯普的结果为前提的四色问题的证明，至少在逻辑上是站不住脚的。
参考资料 ：
⑴四色地图问题的解决 K.Appel W.Haken 见《世界科学译刊》1979年第4期；
⑵模型与实体 华罗庚 宋 健 见《光明日报》1980，7，11
⑶从一到无穷大 [美]G.盖莫夫 箸 暴永宁 译 科学出版社 1978
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