九州算术数学论坛 » 初中数学 » 一道数论题

铁甲XYZ 发表于 2008-3-30 18:52

一道数论题

求同时满足下列三个条件的自然数a,b:
(1)a>b
(2)ab/(a+b)=169
(3)a+b是平方数

tobio 发表于 2008-4-1 12:53

将2式移项得到
ab=(169)(a+b) 因为169 与a+b都为平方数 所以ab也是平方数
再利用 (a-b)²=(a+b)²-4ab=(a+b)²-4*196(a+b) 即可

姜守清 发表于 2008-4-5 04:24

若不改条件（1）或（2），此题就无解

条件（1）a>b, 使得ab > 4 x 13^4,而13是素数，a+b又是完全平方数，从而ab也是完全平方数，所以无解。若取消条件（1），则此题的解是：a = b = 0, 或a = b = 338。
或若把条件（2）中的169改为144。它的解就是 a = 400，b = 225。

ray20001015 发表于 2008-4-6 21:16

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姜守清 发表于 2008-4-9 02:36

楼上的解法妙极了！令人敬佩！

楼上对此题的解法实在太妙了。其思路可以启发人们开智。也显示数学特有的美。当然，这也只有数学爱好者才能够欣赏它。

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