试用初等数学理论探四色定理的简单证明
彭林章 彭迪（武汉市江汉区汉兴街常青二院54栋3单元402室 武汉理工大学 邮编： 430024）
摘 要：将一张地图可分解为由多个连续的鳞叠单元区域组成。我们能逐步分别的证出一个鳞叠单元区域，两个连续的鳞叠单元区域和多个连续的鳞叠单元区域的着色数都只用且必用四色，就能区分开相邻的地域（一个国家或省、县）。于是证出本定理。
关键词：地图着色、地域、分解、鳞叠单元区域、 四色
四色地图定理（简称四色定理）：
画地图时，可以只用四种颜色就能区分开相邻的国家或省、县，颜色种数多了不必要，少了不够用。
证明：
将一张地图可分解为由多个连续的鳞叠单元区域组成。我们能逐步分别的证出一个鳞叠单元区域，两个连续的鳞叠单元区域和多个连续的鳞叠单元区域的着色数都只用且必用四色，就能区分开相邻的地域（一个国家或省、县）。于是证出本定理。
什么是地图的鳞叠单元区域、两个连续的鳞叠单元区域？其着色至多只用且必用四色就能区分开相邻的地域是怎么证得的？
地图上一地域（称中心地域）与它相邻地域（称周邻地域）组成的图形称一单元区域。当两个单元区域中各自的中心地域是对方一周邻地域时，则它们的地域就有共属的（似于重叠）和单属的，酷似鱼鳞的生态，故称它们各为一鳞叠单元区域或为两个连续的鳞叠单元区域。
一、在地图上取一鳞叠单元区域，其中心地域为p,设n为与p相邻的周邻地域数。显然n只能为自然数1、2、3、4、5、等等。自然数分为奇数和偶数。
（一）若n为奇数的鳞叠单元区域。由任一奇数减1为偶数（在此不含奇数1，因1-1=0对本题无意义），能被自然数中的最小偶数2整除（依题义在此不必取自然数中最小数1为约数，于是2变为最小唯一约数），其意义是将n-1个周邻地域分为两个1组的e个成对周邻地域，表为 e =（n-1）/2，则得n=2e+1。于是此鳞叠单元区域的地域数k=p+2e+1=1+(1+1)e+1。设e=1时，得k=1+1+1+1。因此式中四个加数1都各表为一个地域且相邻，要区分开它们就必用四种色。设e>1时，仍然k=1+(1+1)e+1。要区分开相邻地域，也需将式中的四个1各表示的地域着四种色，其中（1+1）两地域着两色就将2e个周邻地域相间着色区分开。故证出此种鳞叠单元区域只用且必用四色着色就能区分开相邻地域。（如图I）
（二）若n为偶数的鳞叠单元区域。与上面（一）同理可得k=p+n=1+(1+1)e。设e=1时，得k=1+1+1。设e>1时，得k=1+(1+1)e。故证出这种鳞叠单元区域只用且必用三色着色就能区分开相邻地域。（如图II）
综合两种鳞叠单元区域的着色数，证出它们至多只用且必用四色就能区分开相邻地域。
二、由证得的对一鳞叠单元区域着的四色可显示三个用处，一是对中心地域着一首色；二是对周邻地域着余下的三色，在其中选二色（称邻主色）对周邻地域相间着色；三是余下的一色（称邻备色）为避免相邻地域着同色相混而备用之色。有了这四色及其在着色之中的三个用处，下面再证出两个连续的鳞叠单元区域（简称1和2区域）的着色数。
设1区域的中心地域着A色，周邻地域着B、C、D色；2区域以1区域中着B（或C或D）色的一周邻地域为中心地域与其周邻地域所组成。于是，1区域中B色地域左、右相邻的地域和中心地域，就变为2区域中的部分周邻地域，并已着三（或二）色，在其中取二色为邻主色，余下一色为邻备色，对2区域中未着色的周邻地域完成着色，故2区域用的着色数仍然是A、B、C、D四色。于是证出两个连续的鳞叠单元区域的着色数只用且必用A、B、C、D四色。（如图III粗线部分图形）
同理，依此连续多次证下去，就能证得多个连续的鳞叠单元区域的着色数仍只用且必用A、B、C、D四色（如图III）。而一张地图又可分解为由多个连续的鳞叠单元区域组成。故证出本定理。
2005年10月26日
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