九州算术数学论坛 » 初中数学 » 一个奥数几何问题

hjcx_2007 发表于 2008-7-19 12:00

一个奥数几何问题

在三解形ABC中,M是BC的中点,I是内心,BC与内切圆相切于K,求证:直线IM平分线段AK。反之,若AH垂直BC于H，AH交MI于E，则AE与内切圆半径相等。

tobio 发表于 2008-7-21 11:05

题目是否有误???

rch2008 发表于 2008-7-23 10:00

[quote]原帖由 [i]tobio[/i] 于 2008-7-21 11:05 发表 [url=http://bbs.suanshu.net/redirect.php?goto=findpost&pid=14523&ptid=3667][img]http://bbs.suanshu.net/images/common/back.gif[/img][/url]
题目是否有误??? [/quote]
没问题，都正确

whoami 发表于 2008-7-27 13:18

[code]证明：
延长KI交圆I于E，过E作圆切线，交AB于P，交AC于Q，连结AE并延长交BC于F点
设⊙I切AB于P1，切AC于P2
设
p=△ABC半周长
AP1=AP2=x
BP1=BK=y
CP2=CK=z
∵△AEQ∽△AFC
∴AQ:AC=EQ:FC=(AQ+EQ):(AC+FC)=(AQ+P2Q):(AC+FC)=x:(AC+FC) (1式)
∵AQ:AC=△APQ周长:△ABC周长
∴AQ:AC=2x:2p (2式)

由1、2式知：
x:(AC+FC)=2x:2p
即AC+FC=p
∴p=AP2+CP2+BK(半周长)=AC+BK=AC+FC
∴BK=FC
而M为中点
∴KM=MF

在△AKF中，若IM//AF，则由KM＝MF得AD＝DK
下面只要证明IM//AF即可
在△KEF中∵KM＝MF且MK＝IE
∴IM//AF[/code]

whoami 发表于 2008-7-27 13:24

第二问为免字母重复，修改原定义为“AH交MI于T”（T原为E）
证明
因为IE//AT（都与BC垂直）
而MT//AF，1问证明过
所以ATIE为平行四边形，所以AT＝IE，而IE为半径，得证

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