什么是幻方？
究竟什么是幻方啊 有没有什么概念或定义啊 据传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。图上有九个数字。大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。这张图，就是闻名于世的洛书，见图1。洛书中每个小圆圈都代表一个l。所以把它写成现在的形式就是图2。[align=center][img]http://www.pep.com.cn:82/images/200406/pic_95222.gif[/img][/align][align=center]图 1[/align][align=center][table=208][tr][td=1,1,33%]4[/td][td]9[/td][td=1,1,34%]2[/td][/tr][tr][td]3[/td][td=1,1,33%]5[/td][td]7[/td][/tr][tr][td=1,1,33%]8[/td][td]1[/td][td=1,1,34%]6[/td][/tr][/table]
图 2 [/align]
图2是由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15。这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。后来，人们称它为“幻方”。因为图2是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。
三阶幻方是怎样构造出来的呢？我国宋朝数学家杨辉给出了一种简便的方法：如图3，将1至9九个数字斜着排列，然后把上下两个数字1和9对调，左右两个数字7和3对换，得到图4。再将图4中的上下左右四个数字9，1，3，7分别写进与它相邻的空格中，就得到前述的图2。
[align=center][img]http://www.pep.com.cn:82/images/200406/pic_95223.gif[/img]
图 3[/align][align=center][img]http://www.pep.com.cn:82/images/200406/pic_95219.gif[/img]
图 4
[/align] 不仅如此，杨辉对幻方还进行了较系统的研究，他是世界上第一位把幻方当作数学问题来研究的数学家。他构造出多种幻方，其中之一就是图5。它是由十六个数字组成的一种正方排列，其中每行每列、每条对角线上的数字和都是34。
[table=90%][tr][td][align=center][table=50%][tr][td=1,1,25%]4[/td][td]9[/td][td=1,1,25%]5[/td][td]16[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]14[/td][td]7[/td][td=1,1,25%]11[/td][td]2[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]15[/td][td]6[/td][td=1,1,25%]10[/td][td]3[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]1[/td][td]12[/td][td=1,1,25%]8[/td][td]13[/td][/tr][/table][/align][/td][td=1,1,50%][align=center][table=50%][tr][td=1,1,25%]13[/td][td]9[/td][td=1,1,25%]5[/td][td]1[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]14[/td][td]10[/td][td=1,1,25%]6[/td][td]2[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]15[/td][td]11[/td][td=1,1,25%]7[/td][td]3[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]16[/td][td]12[/td][td=1,1,25%]8[/td][td]4[/td][/tr][/table][/align][/td][/tr][/table]
[align=left] 图 5 图 6
图5是怎样构造出来的呢？数学家杨辉为此给出了一种十分简单的方法，它与三阶幻方的构造有所不同。如图6，先将1至16的十六个数字按顺序排列在四行四列的方格中，然后把两条对角上、关于正方形中心对称的四对数，6和11，1和16，7和10，4和13分别对换，就得到图5。 [/align] 在四阶幻方中，一个颇为著名的幻方是印度太苏神庙石碑上的幻方，如图7，它刻于十一世纪。这个幻方中，不但每行每列每条对角线上的数字和为34，而且有20组某两行两列交叉点上的四个数字，它们的和也都为34，例如9+2+15+8=34。更为奇妙的是把这个幻方边上的行或列移到另一边上去，所得到的正方形排列仍是一个幻方。
[table=90%][tr][td=1,1,50%][align=center][table=50%][tr][td=1,1,25%]9[/td][td]6[/td][td=1,1,25%]15[/td][td]4[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]7[/td][td]12[/td][td=1,1,25%]1[/td][td]14[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]2[/td][td]13[/td][td=1,1,25%]8[/td][td]11[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]16[/td][td]3[/td][td=1,1,25%]10[/td][td]5[/td][/tr][/table][/align][/td][td=1,1,50%][align=center][table=50%][tr][td=1,1,25%]16[/td][td]3[/td][td=1,1,25%]2[/td][td]13[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]5[/td][td]10[/td][td=1,1,25%]11[/td][td]8[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]9[/td][td]6[/td][td=1,1,25%]7[/td][td]12[/td][/tr][tr][td=1,1,25%]4[/td][td]15[/td][td=1,1,25%]14[/td][td]1[/td][/tr][/table][/align][/td][/tr][tr][td=1,1,50%][align=center]图 7[/align][/td][td][align=center]图 8[/align][/td][/tr][/table]
大约十五世纪，我国的纵横图传到欧洲，引起了人们的普遍兴趣，成千上万的人沉醉于幻方之中。德国画家丢勒（1427—1528）就是其中的一位。他找到了一个四阶幻方，如图8，并把它反映在他的著名版画《忧郁症》中。它也许是欧洲最早的幻方。有趣的是，丢勒在这一幻方中把版画创作的年代1514也放了进去。他可能正是从这两个数出发，通过不断的试验而找出了其余的数字。
[align=center][table=90%][tr][td=1,1,50%][align=center][table=50%][tr][td=1,1,20%]19[/td][td]20[/td][td=1,1,20%]2[/td][td]1[/td][td=1,1,20%]23[/td][/tr][tr][td]18[/td][td=1,1,20%]12[/td][td]17[/td][td=1,1,20%]10[/td][td]8[/td][/tr][tr][td=1,1,20%]21[/td][td]11[/td][td=1,1,20%]13[/td][td]15[/td][td=1,1,20%]5[/td][/tr][tr][td]4[/td][td=1,1,20%]16[/td][td]9[/td][td=1,1,20%]14[/td][td]22[/td][/tr][tr][td=1,1,20%]3[/td][td]6[/td][td=1,1,20%]24[/td][td]25[/td][td=1,1,20%]7[/td][/tr][/table][/align][/td][td][align=center][table=58%][tr][td=1,1,20%]6[/td][td]7[/td][td=1,1,20%]-11[/td][td]-12[/td][td=1,1,20%]10[/td][/tr][tr][td]5[/td][td=1,1,20%]-1[/td][td]4[/td][td=1,1,20%]-3[/td][td]-5[/td][/tr][tr][td=1,1,20%]8[/td][td]-2[/td][td=1,1,20%]0[/td][td]2[/td][td=1,1,20%]-8[/td][/tr][tr][td]-9[/td][td=1,1,20%]3[/td][td]-4[/td][td=1,1,20%]1[/td][td]9[/td][/tr][tr][td=1,1,20%]-10[/td][td]-7[/td][td=1,1,20%]11[/td][td]12[/td][td=1,1,20%]-6[/td][/tr][/table][/align][/td][/tr][tr][td][align=center]图9[/align][/td][td=1,1,50%][align=center]图10[/align][/td][/tr][/table][/align]
图9是一个五阶幻方，其中隐藏着一条绝妙的性质：幻方中的每个数字减去中心位置数字12后，得到一个这样的幻方（如图10），它的中心对称或轴对称上的两个数字互为相反数，并且中间位置上的九个数字也构成一个幻方。更值得一提的是，图10中隐含了如何由三阶幻方出发构造五阶幻方，又进而由五阶幻方构造出七阶幻方，等等行之有效的方法，限于篇幅，这里就不作介绍了。
除了上面提及的一类方形幻方外，其它类型的幻方也各具风彩，深受人们的喜爱。
[table=90%][tr][td][align=center][img]http://www.pep.com.cn:82/images/200406/pic_95220.gif[/img][/align][/td][td=1,1,50%][align=center][img]http://www.pep.com.cn:82/images/200406/pic_95221.gif[/img][/align][/td][/tr][tr][td][align=center]图 11[/align][/td][td=1,1,50%][align=center]图 12[/align][/td][/tr][/table] 我国数学家张潮（165～？年）在他的“算法补图”中，介绍了多种非常别致的幻方，优美的“龟文聚六图”就是其中之一，如图11。图11中，有二十四个数，每块龟文六边形上的数字和为75。
在幻方中，最为稀有的幻方莫过于六角幻方，如图12。它的十五条直线上的数字和都为19的2倍38。它是由一位名叫阿当斯的人，经过四十多年的不懈努力才搞出来的。它的完美形式令人赞叹不已，他的锲而不舍的精神更感人至深。
过去，幻方仅作为一种游戏，近代已经发现，幻方在计算机程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等方面有广泛的应用。
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