“希望杯”数学邀请赛培训题(三)答案解析
51．[img=21,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124720351.gif[/img]形的面积等于矩形面积[img=21,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124720846.gif[/img]减去三个小三角形面积，而三个小三角形面积恰好是短形面积的[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721842.gif[/img]，所以[img=63,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721630.gif[/img]52．○中填的数是：[img=169,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721987.gif[/img]
□中填的数是：[img=252,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721919.gif[/img]
而 [img=373,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721304.gif[/img]
53．○中填1，△中填0，□填8。（1＋8）×0＝0．
54．由－3，－2，－1，4，5中任取三个相乘可得10种不同的乘积，它们是
（－3）（－2）（－1）＝－6，（－3）（－2）4＝24，（－3）（－2）5＝20，
（－3）（－1）4＝12，（－3）（－1）·5＝15，（－3）（4）（5）＝－60，
（－2）（－1）·4＝8，（－2）（－1）·5＝10，（－2）·4·5＝－40，（－1）·4·5＝－20．
最大乘积是30，最小的乘积是－60．－（－30）÷－60＝－[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721725.gif[/img]
55．[img=200,83]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721982.gif[/img] 1－[img=164,45]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721319.gif[/img]
＝[img=197,87]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721580.gif[/img]＝[img=197,83]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124721195.gif[/img]
＝[img=315,83]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124722999.gif[/img]
56．按规则，甲同学的标准体重为161－110＝51，正常体重应在[img=91,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124722708.gif[/img]与[img=92,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124722114.gif[/img]之间，即[img=145,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124722617.gif[/img]所以[img=108,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124723190.gif[/img]
57．若[img=41,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124723192.gif[/img]则[img=197,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124723818.gif[/img]
若[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124723356.gif[/img]<0，则[img=215,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124723141.gif[/img]>0．所以[img=172,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124723366.gif[/img]的最小值是0．
58．[img=317,63]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124723443.gif[/img]
=[img=297,63]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124724370.gif[/img]
=[img=316,71]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124724953.gif[/img]
59．由图可见，[img=261,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124724981.gif[/img]
又 [img=223,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124724461.gif[/img]；[img=235,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124724350.gif[/img]
由图可知 [img=189,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124724244.gif[/img] 所以：[img=487,23]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124724246.gif[/img][img=460,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124725681.gif[/img]
60．分三种情况讨论：
（1） 当[img=56,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124725469.gif[/img]时，
[img=143,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124725471.gif[/img][img=476,45]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124725741.gif[/img]
（2） 当[img=109,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124725393.gif[/img]时，
[img=143,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124725669.gif[/img]
[img=243,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124725286.gif[/img]
(3)当[img=47,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124725267.gif[/img]时，
[img=539,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726625.gif[/img]
综合（1），（2），（3），可得，最小值是[img=27,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726172.gif[/img]
61．设线段[img=28,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726512.gif[/img]的长度为[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726915.gif[/img]，则[img=297,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726335.gif[/img]
所以 [img=213,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726806.gif[/img] 即[img=69,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726441.gif[/img] [img=109,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726360.gif[/img]
即 [img=28,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124726927.gif[/img]长度为[img=35,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727668.gif[/img]
62．由于36是[img=47,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727664.gif[/img]的倍数，所以[img=17,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727485.gif[/img]只能是0或3，同理，36也是[img=41,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727188.gif[/img]的倍数，所以[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727604.gif[/img]只能是0或1．于是[img=47,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727725.gif[/img]是3或18，[img=41,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727922.gif[/img]是1或4．在四对数3，1；3，4；18，1和18，4中，只有18和4的最小公倍数是36，因而[img=81,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727851.gif[/img]所以[img=68,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727120.gif[/img]
63．设乙跑了X米，则在[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727589.gif[/img]秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了[img=41,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727924.gif[/img]秒，两段时间之和等于5，所以
[img=184,63]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727487.gif[/img]米
64．因为
[img=356,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727710.gif[/img] [img=248,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727552.gif[/img][img=364,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124727562.gif[/img] [img=247,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728516.gif[/img]
所以[img=367,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728418.gif[/img]
[img=130,89]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728464.jpg[/img]65．设大正方形长为[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728342.gif[/img]，小正方形边长为[img=13,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728150.gif[/img]，则S△ABC
[img=296,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728319.gif[/img][img=284,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728981.gif[/img]
[img=105,44]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728154.gif[/img]平方厘米．
66．设[img=81,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728451.gif[/img]则[img=172,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728428.gif[/img]其中[img=28,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728540.gif[/img]为8或9，因为250052，10[img=9,20]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124728240.gif[/img]，[img=25,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124729527.gif[/img]被11除的余数分别为0，－1，1，可设250052＝[img=139,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124729331.gif[/img][img=151,25]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124729665.gif[/img]为正整数，故可得[img=43,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124729587.gif[/img]所以所求四位数是1885或1995．
67．设1分、2分、5分硬币分别为[img=41,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124729240.gif[/img]枚，则
[img=117,48]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124729944.gif[/img] [img=21,45]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124729689.gif[/img]
[img=52,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124729555.gif[/img]得 [img=72,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124730451.gif[/img] [img=21,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124730196.gif[/img]
当[img=36,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124730805.gif[/img]时，[img=37,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124730513.gif[/img]，[img=37,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124730778.gif[/img]；当[img=39,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124730636.gif[/img]，3，4时均不合题意；当[img=27,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124730849.gif[/img]5时，[img=37,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124731116.gif[/img]，
[img=39,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124731289.gif[/img] ；当[img=27,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124731166.gif[/img]6，7，8[img=35,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124731194.gif[/img]均不合题意．
所以，原方程的解为
[img=45,75]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124732398.gif[/img] 或[img=47,75]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124732215.gif[/img] [img=136,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124732100.gif[/img]，或[img=125,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124732583.gif[/img]．
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