“希望杯”数学邀请赛培训题(三)答案解析(续)
68．设这个数学小组的成员共有[img=13,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124732691.gif[/img]人，男孩子为[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124732589.gif[/img]人，则[img=27,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124732844.gif[/img]均为自然数，且[img=53,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124732173.gif[/img]．即： [img=43,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733272.gif[/img]且[img=36,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733711.gif[/img]． 于是： [img=73,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733508.gif[/img]且[img=60,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733421.gif[/img] 则：[img=121,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733234.gif[/img]
所以 [img=137,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733733.gif[/img] 所以[img=13,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733935.gif[/img]最小值是7． 这时 [img=159,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733577.gif[/img]
所以 [img=41,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124733180.gif[/img] 因此，这个数学小组成员至少有7个人。 69．四位数每个数位都可以选1或2，共两种方法，所以排成四位数共有[img=52,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734781.gif[/img]种方法。但由于只有三个1和三个3，因此不可能出现1111和2222这两个数，所以用三个数码2可以组成[img=75,20]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734461.gif[/img]个不同的四位数，它们是：1222，2122，2212，2221，1122，1212，1221，2112，2121，2211，1112，1211，2111，1121．
70．按百位数字分类讨论：
① 百位数字是8，9时不存在，个数0；
② 百位数字是7，只有789，1个；
③ 百位数字是6，只有679，678，689，共3个；
④ 百位数字是5，有567，568，569，578，579，589，共6个；
⑤ 百位数字是4，有456，457，458，459，467，468，469，478，479，489共10个；
⑥ 百位数字是3时，共15个；
⑦ 百位数字是2时，共21个；
⑧ 百位数字是是1时，共28个。
总计，共1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＝80个。
71．后两位数字相同，只有00，11，22，33，44，55，66，77，88，99这10种可能情形，而每一种相同的末两位数字相同的数，百位到千位对应着1，2，…，19这19种可能，所以在100－1999这一千九百个自然数中，十位与个位数字相同的共有19×10＝190个。
72．设毕达哥拉斯学校有学生[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734515.gif[/img]人，则正在学数学的为[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734542.gif[/img]人，正在学音乐的为[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734286.gif[/img]人，正休息的为[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734396.gif[/img]人．依题意列出如列方程：
[img=116,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734185.gif[/img] 解得： [img=45,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734630.gif[/img]人。
73．设丢番图寿命为[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734252.gif[/img]岁，则他的童年时期为[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124734934.gif[/img]岁，他的少年时期为[img=21,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735188.gif[/img]岁，又过了生命的七分之一，即[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735499.gif[/img]，儿子年岁为[img=16,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735345.gif[/img]，丢番图寿命等于各阶段年数之和，得[img=175,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735885.gif[/img]
解得： [img=45,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735775.gif[/img]．丢番图一生活了84岁。
74．设他们有兄弟[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735345.gif[/img]人，姐妹[img=15,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735345.gif[/img]人，则依题意可列出如下的二元一次方程组
[img=87,48]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735330.gif[/img]， 解得[img=81,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124735180.gif[/img] 即他们有兄弟4人，姐妹3人。
75．设甲现年[img=13,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124736127.gif[/img]岁，乙现年[img=15,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124736390.gif[/img]岁，甲比乙大[img=37,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124736811.gif[/img]岁。由甲说的前半句话：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年岁数的一半”可得[img=100,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124736367.gif[/img] ①
由甲说的后半句话：“当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7”可得[img=129,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124736311.gif[/img] ②
将①，②联立，解得 [img=97,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127124738532.gif[/img] 所以甲现年28岁，乙现年21岁。
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