“希望杯”数学邀请赛培训题(四)及答案解析
[b]二、解答题[/b][b] [/b]76．一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？
77．已知代数式[img=55,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125041734.gif[/img]，当[img=68,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125041580.gif[/img]时的值分别为1－，2，2，而且[img=15,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125042621.gif[/img]不等于0，问当[img=39,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125042360.gif[/img]时该代数式的值是多少？
78．如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？
79．有理数[img=40,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125042371.gif[/img]均不为0，且[img=87,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125042797.gif[/img]设[img=173,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125042112.gif[/img]试求代数式[img=76,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125042784.gif[/img]2000之值。
80．已知[img=31,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125044833.gif[/img]为整数，[img=79,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125044738.gif[/img]如果[img=73,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125044140.gif[/img]，请你证明：[img=37,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125044472.gif[/img]。
[color=#0909f7][b] 答案与提示[/b][/color]
76．设第1站到第7站上车的乘客依次为：[img=149,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125044876.gif[/img] 第2站到第8站下车和乘客依次为：[img=143,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125044811.gif[/img]
显然应有：[img=201,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045436.gif[/img]＝[img=193,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045965.gif[/img]
已知[img=171,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045884.gif[/img]＝100，[img=164,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045150.gif[/img]＝80，
代入 100＋[img=85,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045954.gif[/img] 即[img=155,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045427.gif[/img]
这表明，从前6站上车而在终点站下车的乘客共20个。
77．将[img=67,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045572.gif[/img]分别代入该代数式，得到[img=196,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045790.gif[/img]
由此可得 [img=111,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045148.gif[/img] [img=155,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045633.gif[/img] 将[img=48,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045521.gif[/img]代入第一个和第三个等式中，得[img=121,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045368.gif[/img] [img=116,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045660.gif[/img]
∴[img=91,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125045683.gif[/img]； [img=72,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046337.gif[/img] 进而得到 [img=147,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046351.gif[/img]
将[img=27,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046846.gif[/img]和[img=12,15]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046842.gif[/img]代入代数式[img=55,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046630.gif[/img]中，得到[img=132,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046987.gif[/img]＝[img=72,45]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046919.gif[/img]
[img=64,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046304.gif[/img]；再将[img=39,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046725.gif[/img]代入，得[img=113,45]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046982.gif[/img] 即当[img=39,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046319.gif[/img]时该代数式的值是[img=27,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046580.gif[/img]
78．设甲的运动速度是[img=25,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125046195.gif[/img] 乙的运动速度是[img=21,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047999.gif[/img]，丙的运动速度是[img=23,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047708.gif[/img]．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有[img=21,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047114.gif[/img]－[img=21,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047617.gif[/img]＝[img=23,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047190.gif[/img] ①
甲比丙多运动一圈用时40秒，故有[img=21,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047192.gif[/img]－[img=23,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047818.gif[/img]＝[img=24,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047356.gif[/img] [img=12,23]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047141.gif[/img] ②
②－①可得到[img=21,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125047366.gif[/img]－[img=23,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048443.gif[/img]＝[img=24,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048370.gif[/img]－[img=23,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048953.gif[/img]＝[img=32,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048981.gif[/img] ③
[img=76,48]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048461.gif[/img] ④
[img=83,48]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048350.gif[/img] ⑤
甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离
＝（[img=21,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048244.gif[/img]－[img=23,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048246.gif[/img]）×30－（ [img=21,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048681.gif[/img]－[img=21,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048469.gif[/img]）×10； 乙追上丙所用时间＝[img=117,48]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048471.gif[/img]
＝[img=103,48]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048741.gif[/img][img=181,48]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125048393.gif[/img]秒．所以第110秒时，乙追上丙．
79．由[img=40,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049669.gif[/img]均不为0，知[img=109,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049286.gif[/img]均不为0．又[img=40,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049267.gif[/img]中不能全同号，故必一正二负或一负二正．于是[img=237,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049625.gif[/img]
即 [img=219,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049172.gif[/img]所以[img=121,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049512.gif[/img]中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．
∴ [img=172,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049915.gif[/img] [img=211,41]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049335.gif[/img]
因此，[img=151,24]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049806.gif[/img] [img=160,19]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049441.gif[/img]
80．已知[img=80,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049360.gif[/img]又已知[img=72,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049927.gif[/img]即存在整数[img=13,17]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049668.gif[/img]，使得[img=87,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125049664.gif[/img]
所以 [img=440,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125050485.gif[/img]由整除性质得 [img=40,21]http://www.aoshu.cn/UpF_Article/2006-12/2006127125050188.gif[/img]
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