秦九韶﹝约公元1202-1261年﹞
天文学的不断发展对数学提出了更高的要求，也促进了数学的发展。数学家秦九韶的《数书九章》十八卷(1247年)，就是总结了天 文学家推算“上元积年”的经验而得出的。秦九韶，字道古，其父亲在南宋朝廷里当一名不大的官，他跟随父亲居住在杭州，因而有机会向太史学习天文、历法，又同隐君子学习数学。18岁那年，他返回故乡，举义兵抗元，为义兵的首领。后来，到四川当过县尉。淳佑四年﹝公元1244年﹞为建康通判，不久母丧，还家守孝服丧，在这期间他把历年积累下来的数学研究成果加以整理，于淳佑七年﹝公元1247年﹞九月，写出《数书九章》18卷。
《数书九章》是一部划时代的数学巨著。全书共列算题81道，分为九类，每类九个问题。主要内容如下：
一、大衍类：一次同余式组解法。
二、天时类：历法计算、降水量。
三、田域类：土地面积。
四、测望类：勾股、重差。
五、赋役类：均输、税收。
六、钱谷类：粮谷转运、仓窖容积。
七、营建类：建筑、施工。
八、军族类 ：营盘布置、军需供应。
九、市物类：交易、利息。
全书实用性强，以问题集的形式来表述，所设问题复杂，解题步骤详细。《数书九章》在数学内容上有颇多创新，其中最重要的是对“大衍求一术”﹝一次同余组解法﹞和“正负开方术”﹝高次方程的数值解法﹞的深入的研究。
“大衍求一术”解决的是解不定方程的问题，使一次同余式问题解法成为系统化的数学理论—“中国剩余定理”。关于一次同余式问题，最早是在于公元四、五世纪成书的《孙子算经》“物不知数”中出现，但对此问题给以理论上的说明，使一次同余式组的解法程序化，（卷17市物类给出完整方程术演算实录），则是由秦九韶给出。而西方只有到18，19世纪时，才由欧拉﹝Euler，公元1707-1783年﹞、高斯﹝Gauss，公元1777-1855年﹞获得与“大衍求一术”相同的定理。
所谓“大衍求一术”，可以用现代符号解释如下：
设有一次同余组
假如诸模 两两互质，那么只要求出一组满足：
就可以得到适合已给一次同余组的最小正整数解为：
在这个过程中，最关键的就是关于数组的计算方法，秦九韶所用的方法，实际相当于现代的辗转相除法。
至于“正负开方术”，是秦九韶在贾宪、刘益的基础上推广而来的求高次方程的数值解法，解决了数字高次方程的求正根法。
秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程(最高次数为10)的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，奏九韶把常数项规定为负数，把高次方程解法分成各种类型。当方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母，常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第二位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第二位数的试除法。自此可以对任意次方程的有理、无理根来求解。英国数学家霍纳﹝Willian George Horner，1786-1837﹞在1819年才发表与“正负开方术”一样的霍纳法，这比西方最早的霍纳方法早500多年。
《数书九章》的内容非常丰富，我们不仅可以找到数学和天文历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会经济领域的真实情况．
关于秦九韶的哲学思想和数学思想，显然与宋代儒学中的道学学派一致．他明确指出“数与道非二本也”，再加上数学实践的切身体会，使他对于数学的重要性产生了较为清楚的认识．他说，数学研究“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！”但他又承认自己对于“通神明，顺性命”没有太深的体会，于是注意搜求天文历法、生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于用”，尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果．为此，他付出了辛勤劳动，撰写出20余万言的数学巨著．他的这种思想和作法是难能可贵的，应该给予充分的肯定．
秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家．他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．美国著名科学史家G．萨顿(Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．
页:
[1]