纤维斜率
以曲面纤维化为例。设f:S→C是曲面S的纤维化。 S有三个相对不变量：K_f^2,χ_f,e_f.
这三个不变量都是非负整数，满足Noether（X.诺特）公式：
12χ_f=K_f^2+e_f.
λ_f=K_f^2/χ_f称为纤维化f的斜率（要求χ_f≠0）。
由诺特公式易知0<λ_f≦12. 如果λ_f＝12，就称f为小平邦彦纤维化。
当纤维亏格g>1时， 肖刚证明了λ_f≥(4-4/g).
求斜率上界是个很有意思的问题。 在超椭圆纤维化情形，肖刚，Horikawa等求出了斜率上界。 高亏格情形则比较困难。 此外，是否存在这样的曲面纤维化，恰好达到斜率上界？这仍然是个公开问题。
给定斜率，是否有相应的曲面纤维化存在？ 这个问题和曲面地理学问题是类似的。
曲面纤维化
曲面纤维化是代数几何中的重要课题。设S是光滑代数曲面，C是光滑代数曲线.
如果存在一个全纯的满态射 f:S→C,那么就称S有一个到的C纤维化。
C上每一点在f下的原像都称为f的纤维，通常用F表示。F显然是一条代数曲线。 任何两条纤维都不相交，并且数值等价－－这就是所谓的Zariski引理的特殊情形。
如果一条纤维F不是光滑的既约曲线，就称为奇异纤维，它在f下的像称为C上的临界点。 显见C上的临界点至多只有有限个。 换句话说，f的大多数纤维是光滑曲线；由Zariski引理，它们的亏格是相同的，记为g. 这个数值不变量g被称为纤维f的亏格。
奇异纤维包含了大量的信息，是我们最感兴趣的对象。 如果f:S→C的所有纤维都光滑，那么就称f是Kodaira(小平邦彦，日本数学家，菲尔兹奖得主)纤维化。
纤维化的亏格是研究的一个主要依据。 g=0时就称f为直纹面；g=1称为椭圆纤维；g=2是最简单的超椭圆纤维化，这方面Horikawa(崛川寅二，日本数学家)和肖刚等人做了大量杰出的工作。
对高亏格的纤维化，仍然有许多东西值得挖掘。 许多数学家都在从事这一研究，比如谈胜利，陈志杰，Catanese, Viehweg, Ashikage...
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