协变微分
在数学分析里，我们已有了一个函数的微分和导数的概念。 这一概念中， 微分的对象是一个纯量函数，其定义域是欧氏空间的一个区间，求导的方向就是坐标轴的方向（方向导数，梯度）。在微分几何里，人们希望推广这个概念到一般微分流形上。首先求导（或求微）的对象从函数推广到向量场（就是向量丛的截面，如切向量场和余切向量场）， 定义域则移到了整个流形上（不再是平坦的空间）， 求导的方向可以是任何切向量的方向。 这样得到的导数就称为协变导数，其微分称为协变微分。
从局部上看，这样的导数和我们以前的偏导数相比多出了一堆修正值。这些修正值就是所谓的联络---这是近代微分几何最重要的概念。 粗略的讲，联络就是反映流形在外部大空间中看，所处的位置和弯曲程度。 但是，值得注意的是，我们定义的协变导数和协变微分实际上是内蕴的（就是说只和流形有关，与它的外部无关）。
如果是黎曼流形（就是有度量的流形），则可以为一定义一种联络，从而有了一种协变微分定义。
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